NÚMEROS COTIDIANOS Y EL INFINITO

Empleamos números todos los días. A veces nos damos cuenta y somos conscientes de ello, otras veces no nos percatamos, pero no hay día que no los empleemos.

Desde que vemos el reloj por la mañana, con la indicación numérica de horas y minutos, la decisión de preparar 3 o 4 huevos, conectarse a facebook para ver cuántos mensajes y notificaciones tenemos, en fin. Muchas cosas de nuestra vida diaria requieren el empleo de números. Estos simples ejemplos son todos números enteros positivos, pero hay otros tipos que también empleamos.

Es común que compremos kilo y medio de algo (1.5 Kg), paguemos 238.60 por algún artículo, leer en el termómetro que alguien tiene 37.5 de temperatura o pidamos tres cuartos de carne molida (3/4 Kg). Eso sin olvidarnos que leemos en algunos congeladores que los productos están a 2.5 grados bajo cero (-2.5C).

Los números se agrupan en diversos conjuntos dependiendo de sus características, para  fines de estudio. Así, tenemos números naturales (enteros del 1 en adelante), enteros (incluyen  negativos y el cero), fraccionarios (los que usan punto decimal y que incluyen las fracciones o quebrados) y los reales (que incluyen raíces y números como pi). Quienes han estudiado hasta secundaria han conocido todos estos números y muchas de sus propiedades, aunque ya hayan olvidado algunas.

Estos conjuntos de números de uso tan cotidiano, son infinitos, es decir, siempre hay un número más grande que cualquiera que se piense. Lo curioso es que el sentido común no ayuda a entender bien el concepto de infinito. Analicemos con un poco de detalle.

Por ejemplo, los números pares (2, 4, 6, 8, ...) son infinitos, pero caben en el conjunto de los enteros (1, 2, 3, 4, ...), por lo que se supondría que los pares es un conjunto infinito pero más pequeño que el de los enteros. Sin embargo, el tamaño de los dos conjuntos es el mismo, pues a cada entero le podemos asociar un número par y viceversa, a cada par se le puede asociar un entero. De hecho los podemos enumerar juntos sin que se nos pase ninguno: (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), ... y de esta forma, al entero n cualquiera le corresponde el par 2xn, continuando así indefinidamente, sin saltarnos uno de ningún conjunto.

Por este argumento se dice que son iguales, o como en los mátemáticos decimos, son isomorfos, aunque ese concepto implica algunas propiedades extras. La regla que asocia n con 2xn se llama isomorfismo. Del mismo modo, los múltiplos de 10 (10, 20,  30, 40, 50, ...) son tantos como números naturales, aunque el sentido común se oponga. Igual con los múltiplos de 1000 o la cantidad que proponga el lector. Va contra el sentido común, pero es así. De hecho, todo conjunto infinito que se pueda enumerar es isomorfo a los números naturales.

Si nos fijamos en los números enteros (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) resulta que también es posible ponerlos en correspondencia con los naturales, es decir, los podemos enumerar enlistándolos de al siguiente manera: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 4, -5, ..., asociando a cada uno un número natural sucesivo. Lo enteros pierden su orden, pero eso no es lo que importa ahora: son la misma cantidad. Suena más raro aún, pero es cierto.

Cuando el sentido común se va a daptando, recibe otro gran golpe cuando nos dicen que hay tantos enteros como fracciones, también llamados números racionales (pues denotan proporciones o razones). Suena muy raro pues ahora se trata de números como 2/3, 1/4, 3/7,3/8 y todas  las combinaciones de dos enteros (dividendo y divisor) y la única restricción es que el segundo no sea cero.

Suena aún más raro porque los racionales son densos, es decir, para cada dos números racionales siempre hay otro en medio, simplemente se calcula el promedio (se suman y se divide entre dos el resultado). Si se escriben con punto decimal, su fracción es finita (siempre termina) o es periódica.

¿Cómo se enumeran los racionales? La figura siguiente muestra la manera de asociar un racional a cada entero y viceversa, sin dejar fuera ninguno.

La figura muestra la forma tradicional de enumerar a todos los racionales y es debida al matemático George Cántor. No es la única, el lector diligente puede buscar la enumeración Peirceana.

Eso de que los múltiplos de 2 son tantos como los naturales, que si agregamos el signo siguen siendo la misma cantidad y peor aún que los racionales también son isomorfos causa perplejidad a todo el que lo ve por primera vez.

Por fin se llega a los números reales, donde hay que agregar las raíces, los logaritmos y números como pi, todos con fracción decimal infinita y no periódica. Estos que se agregan a los racioales son llamados irracionales y ya no son isomorfos a los naturales, son muchos más. Más de los que podemos imaginar. Si la recta numérica que nos mostraron en prima la tocamos en un lugar al azar (con los ojos cerrados, por ejemplo), siempre caeremos en un número irracional, jamás en uno racional, ya ni se diga entero.

La historia no termina ahí, falta pasar a los números complejos, formados por parejas de reales y reglas adicionales de operación, de gran utilidad en ciencias e ingeniería, pero este otro conjunto merece el honor de un espacio exclusivo, para otra ocasión.