Series y sucesiones famosas

El lenguaje es ambiguo. Una persona común y corriente pudiera entender que se habla de series de televisión o sucesiones políticas. Un científico entenderá algo distinto, depende de su ramo específico.

En el caso de las matemáticas, se llama sucesión a una lista de números que cumplen con alguna propiedad, por ejemplo los pares: 2, 4, 6, 8,… Se trata de una sucesión infinita. Se habla de serie cuando se suman los números de una sucesión: 2+4+6+8+… que este caso, el resultado será infinito. Otro ejemplo es 1 + ½ + ¼ + 1/8 +…=2. Es decir, hay series infinitas y otras que no lo son. No siempre es fácil saberlo.

Entre las sucesiones, las dos más famosas son sin dudas los números primos y los números de Fibonacci. Los primos son aquellos números que sólo se dividen entre si mismos (o entre 1): 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,… son infinitos. No hay forma de descomponerlos en otros factores y tampoco hay fórmula para obtenerlos. Quienes usamos Internet los empleamos todos los días sin darnos cuenta, pues están en los algoritmos de seguridad de las redes. Al menos en cada página que inicia con https.

Los de Fibonacci se construyen a partir de los dos primeros: 0 y 1. Cada nuevo número de Fibonacci se obtiene sumando los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Estos permiten modelar gran cantidad de fenómenos naturales, en especial los de crecimiento, como el aumento de las parejas de conejos, distribución de hojas de árboles, la forma de los caracoles, la cola de algunos animales y muchas más.

Pareciera haber una relación entre estas dos interesantes sucesiones. Si enumeramos la sucesión de Fibonacci se obtiene lo siguiente.

Se  observa de la tabla un hecho curioso: hay varios números de Fibonacci que son primos (indicados con azul). Aún más, el índice de esos números ¡también es primo! El siguiente es el número de Fibonacci 13, que es 233, otro primo. Pareciera que si n es primo, el Fibonacci de la posición n también lo es.

Como ocurre con muchas propiedades de primos, esto es casi cierto. Dejando a un lado el caso del Fibonacci 3 (que tiene índice 4), el siguiente caso que no cumple la regla es el Fibonacci de la posición 19, cuyo valor es 4181, que no es primo pues se puede descomponer como 37x113.

Actualmente, no se sabe si hay una cantidad infinita de números de Fibonacci que sean primos. Se dice que es un problema abierto en matemáticas. Lo que sí se cumple es que todo Fibonacci que es primo tiene por índice un número primo.